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探究分式方程的解法(初二苏教版数学分式方程)

来源:www.obraspublicas.net 时间:2024-04-22 13:41:37 作者:精算数学网 浏览: [手机版]

探究分式方程的解法(1)

  分式方程一种带有分式的方程,通常式为$\frac{p(x)}{q(x)}=a$,其中$p(x)$和$q(x)$多项式函数,$a$一个常数精算数学网www.obraspublicas.net。分式方程在高中数学中占有重要的地位,其解法要我们握的。本文将介绍分式方程的解法,并结合例题进行讲解。

一、分式方程的基本解法

  对于分式方程$\frac{p(x)}{q(x)}=a$,我们可以通过以下骤进行求解:

  1.将分式方程化为多项式方程:将分式方程两边乘以$q(x)$,得到$p(x)=a\times q(x)$,即$p(x)-a\times q(x)=0$精算数学网www.obraspublicas.net

  2.将多项式方程化为标准式:将$p(x)-a\times q(x)=0$化为$p(x)-a\times q(x)+a^2\times q(x)=a^2\times q(x)$,即$(p(x)+a^2\times q(x))-2a\times q(x)=0$。

3.将多项式方程的左边化为完全平方:设$u(x)=p(x)+a^2\times q(x)$,则原方程变为$u(x)-2a\times q(x)=0$。

  4.解方程:将$u(x)-2a\times q(x)=0$化为$u(x)=2a\times q(x)$,即$p(x)+a^2\times q(x)=2a\times q(x)$,解得$p(x)=(a-1)\times q(x)$精~算~数~学~网

  5.检验解:将$p(x)=(a-1)\times q(x)$代入原方程$\frac{p(x)}{q(x)}=a$中,检验成立。

探究分式方程的解法(2)

二、分式方程的特殊情况

  1.分母为一多项式的情况:当分母$q(x)$为一多项式时,我们可以通过移项以及配方的方式,将分式方程化为一元一方程,进求解。

例如,对于分式方程$\frac{x+1}{2x-3}=4$,我们可以将其移项得到$x+1=8x-12$,再将其化为标准式$(x-4x)^2=-13$,解得$x=\frac{1}{3}$精 算 数 学 网

2.分式方程的分母为二及以上多项式的情况:当分母$q(x)$为二及以上多项式时,我们要通过因式分解或者配方法,将分式方程化为一或者二多项式,然后再进行求解。

  例如,对于分式方程$\frac{1}{x^2-3x+2}=3$,我们可以通过因式分解得到$\frac{1}{(x-2)(x-1)}=3$,进化为$(x-2)(x-1)=\frac{1}{3}$,解得$x=1+\frac{\sqrt{7}}{3}$或$x=1-\frac{\sqrt{7}}{3}$。

探究分式方程的解法(3)

三、例题解析

  1.解方程$\frac{3x+1}{x-2}=2$精 算 数 学 网

  解:将分式方程两边乘以$x-2$,得到$3x+1=2(x-2)$,化为标准式$x=5$。

  2.解方程$\frac{2x-3}{x+4}-\frac{3x+1}{x-1}=2$。

解:将分式减得到$\frac{5x-13}{(x+4)(x-1)}=2$,化为标准式$(5x-13)=2(x+4)(x-1)$,化简得到$2x^2-3x-21=0$,解得$x=\frac{3+\sqrt{97}}{4}$或$x=\frac{3-\sqrt{97}}{4}$来源www.obraspublicas.net

四、总结

  分式方程高中数学中比较重要的知识点,握其解法对于我们的学习和应用都有很大的帮助。在解题时,我们要根据分式方程的不同情况,采用不同的解法,同时要注意检验解的正确性。

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